2012年7月3日星期二

造假測試工具──Benford’s law

先和各位玩一個小遊戲,請到政府統計處網站,下載最新一期的《香港統計數字一覽2012》,看看第四頁的「主要統計指標」,那裡列出了20行統計數字(即「數值」一欄),由「1」到「9」計,當中那個字頭出現的次數最多?答案如下:「1」有6次,「2」有4次,「3」有5次,「4」至「6」有0次,「7」有1次,「8」有2次,最後「9」有2次。

好了,再隨意翻閱一下那部統計數字一覽,有沒有發覺,字頭低的數值,即數值的字頭是「1」、「2」或「3」出現的次數較其他字頭多?原來這個現象存在已久!

根據ISACA的一篇文章《Assessing Data Authenticity with Benford’s Law》所介紹,這個現象原來有以下一段故事。

於1881年,數學家Simon Newcomb發現用過的對數表的頭幾頁特別破爛,Newcomb想信這是因為研究人員時常翻閱那幾頁所致,而那幾頁所載的,正是字頭較低的數目字,例如「1」和「2」字頭的數字。Newcomb因此推斷字頭低的數值較字頭高的數值常用。其後他將此發現於《American Journal of Mathematics》發表。可是,由於缺乏實證,他的文章在當時沒有被重視。

到了1938年,當時身為通用電器實驗室的物理學家Frank Benford有同樣的發現,據說他當時對Simon Newcomb的發現並不知情。Benford相信對數表的頭幾頁特別破爛,原因不在研究人員對低字頭的數字有偏好,他相信因為大部份數字都是低字頭。為了證實他的想法,Benford從不同而且沒有關連的數據集(Datasets)收集了兩萬多個數值來做字頭分析,當中包括河流長度,美國各州份的人口數值,以至門牌號碼等等,之後他將結果寫成了一篇文章於Proceedings of the American Philosophical Society發表。Benford從分析中發現,若數值是關係到一個現象或者一宗事件(例如公司的銷售),其數值以「1」、「2」或「3」為字頭的機會較「7」、「8」或「9」大。

經過其他人的不斷努力,Benford’s Law應運而生。簡單來說,「1」字頭的出現比率最高,有30.1%,其他字頭卻很低,而且字頭愈大,出現比率愈低,詳細如下:

Digit
Benford’s expected frequency (%)
1
30.1
2
17.6
3
12.5
4
9.7
5
7.9
6
6.7
7
5.8
8
5.1
9
4.6

不過,世上不是所有數據集都能適用於Benford’s Law,例如隨機數值。另外,適用於Benford’s Law的數據集都有以下特點:

1) 數據集必需是數值。

2) 數據集內的數值必需有關連,而且與同一種現象或同一宗事件有關,例如股票市場的股票價格。

3) 數值不會有上限和下限,例如實施最低工資的地方,其工資數值就不適用了。

4) 數值必需是自然產生,而且不是發明或分配出來的,例如電話號碼就不適用了。

5) 數值最好是四位數或以上。

在實際應用方面,有人就曾經利用Benford’s Law來檢查數據或者賬目是否造假,甚至有人試過利用它來檢查2009年伊朗總統大選的選舉結果,發現有部份選區的結果有問題。

目前的兩大審計軟件ACL和IDEA均有Benford’s Law測試功能,Auditor只要將數據集輸進就能找出異常的交易。其實我也曾經試過採用此功能於實際的審核工作中,不過發覺並不容易操作。例如要檢視的數據集是否真的適合使用Benford’s Law,數值要怎樣再算「異常」等等。

除了維基外,香港專欄作家Nick Lee也曾寫過一篇關於Benford’s Law的好文章,有興趣的話,不妨按以上的連結看看。

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3 則留言:

the inner space 說...

初學內審揀 sample 時用張 random number sheet

不過 There are three main ways of taking samples.

1. Random Sampling.

2. Systematic Sampling (includes line transect and belt transect methods).

3. Stratified Sampling.

Bittermelon 說...

咁你呢家通常會用邊種?

the inner space 說...

愚弟已經脫離審計行列久矣!

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