造假測試工具──Benford’s law

先和各位玩一個小遊戲，請到政府統計處網站，下載最新一期的《香港統計數字一覽2012》，看看第四頁的「主要統計指標」，那裡列出了20行統計數字（即「數值」一欄），由「1」到「9」計，當中那個字頭出現的次數最多？答案如下：「1」有6次，「2」有4次，「3」有5次，「4」至「6」有0次，「7」有1次，「8」有2次，最後「9」有2次。

好了，再隨意翻閱一下那部統計數字一覽，有沒有發覺，字頭低的數值，即數值的字頭是「1」、「2」或「3」出現的次數較其他字頭多？原來這個現象存在已久！

根據ISACA的一篇文章《Assessing Data Authenticity with Benford’s Law》所介紹，這個現象原來有以下一段故事。

於1881年，數學家Simon Newcomb發現用過的對數表的頭幾頁特別破爛，Newcomb想信這是因為研究人員時常翻閱那幾頁所致，而那幾頁所載的，正是字頭較低的數目字，例如「1」和「2」字頭的數字。Newcomb因此推斷字頭低的數值較字頭高的數值常用。其後他將此發現於《American Journal of Mathematics》發表。可是，由於缺乏實證，他的文章在當時沒有被重視。

到了1938年，當時身為通用電器實驗室的物理學家Frank Benford有同樣的發現，據說他當時對Simon Newcomb的發現並不知情。Benford相信對數表的頭幾頁特別破爛，原因不在研究人員對低字頭的數字有偏好，他相信因為大部份數字都是低字頭。為了證實他的想法，Benford從不同而且沒有關連的數據集（Datasets）收集了兩萬多個數值來做字頭分析，當中包括河流長度，美國各州份的人口數值，以至門牌號碼等等，之後他將結果寫成了一篇文章於Proceedings of the American Philosophical Society發表。Benford從分析中發現，若數值是關係到一個現象或者一宗事件（例如公司的銷售），其數值以「1」、「2」或「3」為字頭的機會較「7」、「8」或「9」大。

經過其他人的不斷努力，Benford’s Law應運而生。簡單來說，「1」字頭的出現比率最高，有30.1%，其他字頭卻很低，而且字頭愈大，出現比率愈低，詳細如下：

Digit	Benford’s expected frequency (%)
1	30.1
2	17.6
3	12.5
4	9.7
5	7.9
6	6.7
7	5.8
8	5.1
9	4.6

不過，世上不是所有數據集都能適用於Benford’s Law，例如隨機數值。另外，適用於Benford’s Law的數據集都有以下特點：

1) 數據集必需是數值。

2) 數據集內的數值必需有關連，而且與同一種現象或同一宗事件有關，例如股票市場的股票價格。

3) 數值不會有上限和下限，例如實施最低工資的地方，其工資數值就不適用了。

4) 數值必需是自然產生，而且不是發明或分配出來的，例如電話號碼就不適用了。

5) 數值最好是四位數或以上。

在實際應用方面，有人就曾經利用Benford’s Law來檢查數據或者賬目是否造假，甚至有人試過利用它來檢查2009年伊朗總統大選的選舉結果，發現有部份選區的結果有問題。

目前的兩大審計軟件ACL和IDEA均有Benford’s Law測試功能，Auditor只要將數據集輸進就能找出異常的交易。其實我也曾經試過採用此功能於實際的審核工作中，不過發覺並不容易操作。例如要檢視的數據集是否真的適合使用Benford’s Law，數值要怎樣再算「異常」等等。

除了維基外，香港專欄作家Nick Lee也曾寫過一篇關於Benford’s Law的好文章，有興趣的話，不妨按以上的連結看看。

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